【인민교육출판사】중학교 수학 8학년 하반기: 규칙 탐구: 이차근의 곱셈과 나눗셈 법칙

이차근의 곱셈과 나눗셈 법칙은 산술적 제곱근의 의미와 실수 연산 성질에 기초한 핵심 계산 법칙입니다. 이번 수업에서는 구체적인 값의 계산 결과를 정리함으로써 일반적인 규칙을 찾아보겠습니다:두 음수가 아닌 수의 산술적 제곱근의 곱(또는 나누기)은 그 두 수의 곱(또는 나누기)의 산술적 제곱근과 같습니다또한 이 법칙은 양방향으로 역전 가능합니다.

掌握这一规律不仅是为了进行基础代数计算，更在于深刻理解被开方数必须非负以及分母不为零的严密逻辑边界。这也为未来复杂多变的多项式混合运算铺平了道路。

1. 곱셈 법칙의 탐구 및 정방향과 역방향 적용

화면 오른쪽에 표시된 도해처럼 특정 수치의 검증을 통해 매우 아름다운 대수적 규칙을 도출할 수 있습니다. 다음을 참조하세요: [시각 자산: 표 (페이지 6)] 제곱근 곱셈 성질 탐구를 위한 계산 검증표 의 비교를 통해 더 깊이 이해할 수 있습니다.

일반적으로 이차근의 곱셈 법칙은 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$입니다.

공식의 정방향 적용은 주로 근식의 통합 계산에 사용됩니다. 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다:

곱셈 정방향 통합

예제 1 계산: (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

풀이:

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

곱셈 역방향 분해

同样地，其逆向等式 $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ 则是将大数或复杂代数式进行拆分解构的绝佳工具。

예제 2 단순화: (1) $\sqrt{16 \times 81}$; (2) $\sqrt{4a^2b^3}$

풀이:

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) $a^2 \ge 0$, $b^3 \ge 0$ 이므로 $b \ge 0$입니다. $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

2. 계수를 포함한 복합 근식 곱셈

在处理带有系数或多变量的复杂根式乘法时，需遵循“有理系数乘有理系数，无理部分乘无理部分”的分配原则，这是实数乘法交换律与结合律在根式领域的直接体现。

계수와 제곱근 내부 수의 분리 연산

예제 3 계산: (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$; (2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$; (3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

풀이:

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

3. 나눗셈 법칙과 논리적 경계

乘法和除法犹如数学运算的两面。正如 [시각 자산: 표 (페이지 8)] 제곱근 나눗셈 성질 탐구를 위한 계산 검증표 所示，规律具有一致性。

一般地，二次根式的除法法则是 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$，其逆运算等式为 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$。在这里必须强调严密的逻辑边界：分母绝不能为零，因此 $b > 0$！

除法的灵活应用

例4 计算：(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$；(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

풀이:

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 核心法则归纳

无论是乘法合并、逆向拆分，还是除法化简，其底层逻辑都是为了化繁为简，或消去分母上的根号。请将以下核心公式刻入你的代数工具箱：

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

질문 1

计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ 的结果是？

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

질문 2

将二次根式 $\sqrt{48}$ 逆向拆分化简，最正确的结果是？

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

질문 3

在公式 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ 中，对变量 $a$ 和 $b$ 的取值范围要求是？

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

질문 4

计算 $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ 的结果是？

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

질문 5

计算 $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$ 的结果是？

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

挑战：公式探究与深度应用

二次根式乘除法则随堂测试核心题库

在几何与实际物理计算中，熟练应用二次根式乘除法则可以避免大量小数的繁杂开方运算，保证结果的绝对精确度。接下来我们将通过层层递进的练习，验证你对公式正用、逆用以及逻辑边界的掌握程度。

探究1

[Fill in the blanks] 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$；
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$；
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

详细解析与参考答案：
(1) 分别开方：$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$；内部先乘再开方：$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(2) 分别开方：$\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$；内部先乘再开方：$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$。
(3) 分别开方：$\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$；内部先乘再开方：$\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$。
发现的规律：일반적으로 이차근의 곱셈 법칙은 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$입니다.

练习2

[Short Answer] 练习：1. 计算：(1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$；(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$；(3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$；(4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

详细解析与参考答案：
(1) 原式 = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$。
(2) 原式 = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(3) 原式 = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$。故结果为 $\mathbf{2\sqrt{3}}$。
(4) 原式 = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。

探究3

[Fill in the blanks] 探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$；
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$；
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

详细解析与参考答案：
(1) 分别开方：$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$；整体开方：$\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$。
(2) 分别开方：$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$；整体开方：$\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$。
(3) 分别开方：$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$；整体开方：$\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$。
发现的规律：一般地，二次根式的除法法则是 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$。

综合4

[Short Answer] 习题 16.2 复习巩固 1. 计算：(1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$；(2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$；(3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$；(4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

详细解析与参考答案：
(1) 拆分法：$\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$。
(2) 带符号乘法：原式 = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$。
(3) 连乘合并：原式 = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$，重组即得 $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$。
(4) 提取指数法：原式 = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$。

应用5

[Short Answer] [Image: Two concentric circles] 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 $12.56$ 和 $25.12$. 求圆环的宽度 $d$ ($\pi$ 取 $3.14$, 结果保留小数点后两位).

详细解析与参考答案：
已知内圆面积 $S_1 = 12.56$，外圆面积 $S_2 = 25.12$，圆面积公式为 $S = \pi r^2$。运用除法逆向公式可大幅简化计算过程。
1. 内圆半径：$r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。
2. 外圆半径：$r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$。
3. 计算宽度：圆环宽度 $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$。
由于 $\sqrt{2} \approx 1.414$，则 $d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$。
结果保留两位小数为 $\mathbf{0.83}$。
结论：圆环的宽度 $d$ 约为 $\mathbf{0.83}$。